Question

直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于不同的两点M，N，过点M，N作x轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是

2

2

，直线l的斜率存在且不为0，那么直线l的斜率是

±

2

2

．

Answer 1

分析：由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

2

2

，知a=2k，c=

2

k，b=

2

k，设椭圆的两个焦点横坐标是-c，c，则M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

），或M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），由此能求出直线l的斜率．

解答：解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

2

2

，
∴a=2k，c=

2

k，b=

2

k，
设椭圆的两个焦点横坐标是-c，c，
则M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

），或M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），
当M（-c，-

b2

a

），N（c，

b2

a

）时，
直线l的斜率k=

2b2 a

2c

=

b2

ac

=

2k2

2 2 k2

=

2

2

；
当M（-c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

）时，
直线l的斜率k=-

2b2 a

2c

=-

b2

ac

=-

2k2

2 2 k2

=-

2

2

．
故答案为：±

2

2

．

点评：本题考查直线的斜式的求法，具体涉及到椭圆的简单性质及其应用、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系等基本知识点，解题地要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．