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19.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0的解集为(  )
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,2)C.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)

分析 结合已知中可导函数f(x)的图象,分析不同区间上(x2-2x-3)和f′(x)的符号,进而可得答案.

解答 解:由已知中函数f(x)的图象可得:
当x<-1时,函数为增函数,此时f′(x)>0,x2-2x-3>0,(x2-2x-3)f′(x)>0;
当-1<x<1时,函数为减函数,此时f′(x)<0,x2-2x-3<0,(x2-2x-3)f′(x)>0;
当x>1时,函数为增函数,此时f′(x)>0;
当1<x<3时,x2-2x-3<0,(x2-2x-3)f′(x)<0,
当x>3时,x2-2x-3>0,(x2-2x-3)f′(x)>0;
综上可得:不等式(x2-2x-3)f′(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞),
故选:C

点评 本题考查的知识点是函数的图象,利用导数研究函数的单调性,数形结合思想,分类讨论思想,难度中档.

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