【题目】已知函数.
(1)求证:函数在上为增函数;
(2)当时,若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,试讨论函数的零点情况.
【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析
【解析】
(1)根据函数单调性的定义证明,即可求得答案;
(2)设,当时,恒成立,得到关于的不等式组,即可求得答案;
(3)求出的值域,问题转化为求方程的实数根,令,得到方程,求出的值,通过讨论的范围,即可求得答案.
(1)设 是上的任意两个数,且,则
则
,
即
在上递增;
(2),即
设
即当时,恒成立,
,
解得:
实数的范围是
(3)
x>0,则
,
即,
当时,由(1)得递增,递增,
递增,
g(x)的值域是,
的大致图象如图示:
,
函数的零点
方程的实数根,
令,即
解得:或,
时,满足条件的实数根有且只有一个,
,
当,即时,函数有个零点,
当,即时,函数只有个零点,
当 ,即时,函数F(x)有个零点,
综上所述,时,函数只有个零点,
时,函数有个零点,
时,函数有个零点.
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【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(1)若函数,求函数的极值;
(2)讨论函数在定义域内极值点的个数;
(3)设直线为函数的图象上一点处的切线,证明:在区间上存在唯一的,使得直线与曲线相切.
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【题目】从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到频数分布表和频率分布直方图如下.
组号 | 分组 | 频数 |
1 | [0,2) | 6 |
2 | [2,4) | 8 |
3 | [4,6) | 17 |
4 | [6,8) | 22 |
5 | [8,10) | 25 |
6 | [10,12) | 12 |
7 | [12,14) | 6 |
8 | [14,16) | 2 |
9 | [16,18) | 2 |
合计 | 100 |
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值.
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别是、,离心率,过点的直线交椭圆于、两点, 的周长为16.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为原点,圆: ()与椭圆交于、两点,点为椭圆上一动点,若直线、与轴分别交于、两点,求证: 为定值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(是参数),
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线经过伸缩变换得到曲线,曲线任一点为,求点直线的距离的最大值.
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【题目】如图,某企业的两座建筑物AB,CD的高度分别为20m和40m,其底部BD之间距离为20m.为响应创建文明城市号召,进行亮化改造,现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备,投影到建筑物CD上形成投影幕墙,既达到亮化目的又可以进行广告宣传.已知投影设备的投影张角∠EAF为,投影幕墙的高度EF越小,投影的图像越清晰.设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α,幕墙的高度EF为y(m).
(1)求y关于α的函数关系式,并求出定义域;
(2)当投影的图像最清晰时,求幕墙EF的高度.
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【题目】从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分),并卷成一个深度为米的圆锥筒(如图2).若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为.
(1)求圆锥筒的容积;
(2)在(1)中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱(如图3),求内接圆柱侧面积最大时的值.
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【题目】已知不等式.
(1)是否存在实数m,使不等式对任意恒成立?并说明理由.
(2)若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对于,不等式恒成立,求实数x的取值范围.
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