Question

（本题满分13分）
如图一，平面四边形关于直线对称，。
把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于。对于图二，

（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）． 

试题分析：（I）取BD的中点E，先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC；
（II）欲证线面垂直，转化为证明线线垂直，证明AC⊥BC，AC⊥CD即可；
（III）欲求直线AC与平面ABD所成角，先结合（I）中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）取的中点，连接，
由，得：                                      
就是二面角的平面角，……………2分

在中，
…………………………………4分                                                                                                                    
（Ⅱ）由，
 
，  又平面．……………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面
∴平面平面平面平面，
作交于，则平面，
就是与平面所成的角．……13分
方法二：设点到平面的距离为，
∵             
 于是与平面所成角的正弦为  ．
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 则．
设平面的法向量为，则
， ，
取，则， 于是与平面所成角的正弦即
． 
点评：解决该试题的关键是利用定义法得到二面角是该试题的突破口，并能结合三角形的与线订立的到边AC的长度。熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理。