Question

已知△ABC的重心，垂心，外心分别为G，H，O，且满足

HG

=m

GO

，则m=

2

．

Answer 1

分析：利用△ABC的重心，垂心，外心的定义作出图形然后利用重心，垂心，外心的性质证明△OFD∽△HCA，△OGD∽△HGA可得GH：OH=AH：OD=2：1再根据

HG

=m

GO

即可求出m．

解答：解：设H，G，O，分别为△ABC的垂心、重心、外心．连接AG并延长交BC于D，则可知D为BC中点．连接OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC．连接AH并延长交BC于E，因H为垂心，所以 AE⊥BC．
∴OD∥AE，有∠ODA=∠EAD．
∵G为重心，则GA：GD=2：1．  
连接CG并延长交BA于F，则可知F为AB中点．同理，OF∥CM．
∴有∠OFC=∠MCF  
连接FD，有FD平行AC，且有DF：AC=1：2．FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD
又∵∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA，∠ODF=∠EAC
∴有△OFD∽△HCA
∴OD：HA=DF：AC=1：2
又∵GA：GD=2：1
∴OD：HA=GA：GD=2：1  
又∵∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴GH：OH=AH：OD=2：1
∵

HG

=m

GO

∴m=2
故答案为2

点评：本题主要考查了△ABC的重心，垂心，外心的定义和性质．解题的关键是首先△ABC的重心，垂心，外心的定义正确的做出图形然后再根据三心的性质证明出△OFD∽△HCA，△OGD∽△HGA得出GH：OH=AH：OD=2：1，但此题作为一个填空题有些难度因此对于这个结论要牢记在以后的题目中若在出现与此有关的题目可快速求解！