Question

【题目】求函数f（x）=3﹣2asinx﹣cos2x，x∈[﹣ ， ]的最小值．

Answer 1

【答案】解：∵f（x）=3﹣2asinx﹣cos2x=sin2x﹣2asinx+2=（sinx﹣a）2+2﹣a2 ，
∵x∈[﹣ ， ]，
∴sinx∈[﹣ ，1]，
∴a＜﹣ 时，当sinx=﹣ 时，函数f（x）取最小值a+ ；
﹣ ≤a≤1时，当sinx=a时，函数f（x）取最小值2﹣a2；
a＞1时，当sinx=1时，函数f（x）取最小值3﹣2a；
综上可知：
【解析】f（x）解析式可化为：f（x）═（sinx﹣a）2+2﹣a2 ， sinx∈[﹣ ，1]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得不同情况下，函数的最小值．
【考点精析】利用二次函数的性质和三角函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．