Question

已知函数f(x)=4x+ax2-

2

3

x3(x∈R)．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A；
（3）设关于x的方程f(x)=2x+

1

3

x3的两个非零实根为x₁，x₂，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f(x)=4x+x2-

2

3

x3，
f'（x）=4+2x-2x²=-2（x²-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0?-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-1，2）．
由f'（x）＜0?x＜-1，x＞2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x²，
因f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
?

f′(-1)≥0 f′(1)≥0

?-1≤a≤1．
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)=2x+

1

3

x3?4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，
2x+ax²-x³=0?x（x²-ax-2）=0
∴

x1+x2=a x1x2=-2

?|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∴|x₁-x₂|_max=3，…（11分）
?只需m²+tm+1≥3对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+tm-2，
即g（t）=m²+tm-2≥0，对t∈[-1，1]恒成立，…（13分）
?

g(-1)≥0 g(1)≥0

?m≤-2或m≥2
所以存在m∈（-∞，-2]∪[2，+∞）…（14分）