【题目】已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;
(2).
【解析】
(1)求导得到导函数后,设为进行再次求导,可判断出当时,,当时,,从而得到单调性,由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置,证得结论;(2)构造函数,通过二次求导可判断出,;分别在,,和的情况下根据导函数的符号判断单调性,从而确定恒成立时的取值范围.
(1)
令,则
当时,令,解得:
当时,;当时,
在上单调递增;在上单调递减
又,,
即当时,,此时无零点,即无零点
,使得
又在上单调递减 为,即在上的唯一零点
综上所述:在区间存在唯一零点
(2)若时,,即恒成立
令
由(1)可知,在上单调递增;在上单调递减
且,,
,
①当时,,即在上恒成立
在上单调递增
,即,此时恒成立
②当时,,,
,使得
在上单调递增,在上单调递减
又,
在上恒成立,即恒成立
③当时,,
,使得
在上单调递减,在上单调递增
时,,可知不恒成立
④当时,
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述:
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【题目】四色猜想是世界三大数学猜想之一,1976年数学家阿佩尔与哈肯证明,称为四色定理.其内容是:“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用,,,四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线围城的各区域上分别标有数字,,,的四色地图符合四色定理,区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点,则恰好取在标记为的区域的概率所有可能值中,最大的是( )
A. B. C. D.
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【题目】关于函数,.有下列命题:
①对,恒有成立.
②,使得成立.
③“若,则有且.”的否命题.
④“若且,则有.”的逆否命题.
其中,真命题有_____________.(只需填序号)
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【题目】据史载知,新华网:北京2008年11月9日电,国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议,研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施,以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机.在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下,某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如下表:
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售额/千万元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额/千万元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)若与之间是线性相关关系,求利润额关于销售额的线性回归方程;
(2)若9月份的销售额为8千万元,试利用(1)的结论估计该零售店9月份的利润额.
参考公式:,.
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【题目】如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求点C到平面C1DE的距离.
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【题目】古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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【题目】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
的分组 | |||||
企业数 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:.
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