Question

18．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（-1，$\frac{1}{3}$）．过椭圆E内一点P（1，$\frac{1}{2}$）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当λ变化时，k_AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将M和N点坐标代入椭圆方程，根据斜率公式求得k_MN=1，求得a和b的关系，当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，求得A点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设出A、B、C和D点坐标，由向量共线，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，及A和B在椭圆上，利用斜率公式，k_AB=k_CD，求得3（1+λ）k_AB=-2（1+λ），即可求得k_AB为定值．

解答 解：（Ⅰ）设M（m₁，n₁）、N（m₂，n₂），则$\left\{\begin{array}{l}{b^2}m_1^2+{a^2}n_1^2={a^2}{b^2}\\{b^2}m_2^2+{a^2}n_2^2={a^2}{b^2}\end{array}\right.$，
两式相减${k_{MN}}=\frac{{{n_1}-{n_2}}}{{{m_1}-{m_2}}}=-\frac{{{b^2}（{m_1}+{m_2}）}}{{{a^2}（{n_1}+{n_2}）}}=-\frac{{{b^2}×（-1）}}{{{a^2}×\frac{1}{3}}}=\frac{{3{b^2}}}{a^2}=1$，
故a²=3b²…（2分）
当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，
∵$P（1，\frac{1}{2}）$，$λ=\frac{1}{5}$，则$\frac{{|{AP}|}}{{|{PC}|}}=\frac{d-1}{d+1}=\frac{1}{5}$，解得$d=\frac{3}{2}$，
故点A（或C）的坐标为$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．
代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$…4分
a²=3，b²=1，
所以方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄）
由于$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PC}$，可得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），
$\left\{\begin{array}{l}{x_P}=1=\frac{{{x_1}+λ{x_3}}}{1+λ}\\{y_P}=\frac{1}{2}=\frac{{{y_1}+λ{y_3}}}{1+λ}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+λ{x_3}=1+λ\\{y_1}+λ{y_3}=\frac{1}{2}（1+λ）\end{array}\right.$…①
同理$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PD}$可得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}+λ{x_4}=1+λ\\{y_2}+λ{y_4}=\frac{1}{2}（1+λ）\end{array}\right.$…②…（8分）
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}+λ（{x_3}+{x_4}）=2（1+λ）\\{y_1}+{y_2}+λ（{y_3}+{y_4}）=（1+λ）\end{array}\right.$…③
将点A、B的坐标代入椭圆方程得$\left\{\begin{array}{l}x_1^2+3y_1^2=3\\ x_2^2+3y_2^2=3\end{array}\right.$，
两式相减得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
于是3（y₁+y₂）k_AB=-（x₁+x₂）…④
同理可得：3（y₃+y₄）k_CD=-（x₃+x₄），…（10分）
于是3（y₃+y₄）k_AB=-（x₃+x₄）（∵AB∥CD，∴k_AB=k_CD）
所以3λ（y₃+y₄）k_AB=-λ（x₃+x₄）…⑤
由④⑤两式相加得到：3[y₁+y₂+λ（y₃+y₄）]k_AB=-[（x₁+x₂）+λ（x₃+x₄）]
把③代入上式得3（1+λ）k_AB=-2（1+λ），
解得：${k_{AB}}=-\frac{2}{3}$，
当λ变化时，k_AB为定值，${k_{AB}}=-\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率斜率公式，向量共线定理，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用，属于难题．