Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）求

| AC |

| CB |

的值；
（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，

π

2

]f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)|

AB

|的最小值为-

3

2

，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；
（II）由（Ⅰ）

AC

=

2

3

AB

变形即可得到两向量模的比值；
（Ⅲ）求出f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)|

AB

|的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为-

3

2

，由参数即可，

解答：解：（Ⅰ）由已知

OC

-

OA

=

2

3

(

OB

-

OA

)，即

AC

=

2

3

AB

，
∴

AC

∥

AB

．又∵

AC

、

AB

有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）
（Ⅱ）∵

AC

=

2

3

AB

=

2

3

(

AC

+

CB

)，∴

1

3

AC

=

1

3

CB

∴

AC

=2

CB

，∴

| AC |

| CB |

=2．（6分）
（Ⅲ）∵C为

AB

的定比分点，λ=2，∴C(1+

2

3

cosx，cosx)，

AB

=(cosx，0)
∴f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)•|

AB

|=1+

2

3

cosx+cos2x-(2m+

2

3

)cosx=(cosx-m)2+1-m2
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]（8分）
当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）
当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1-m²，得m=±

10

2

（舍）（10分）
当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2-2m，得m=

7

4

＞1（11分）
综上所述，m=

7

4

为所求．（12分）

点评：本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．