Question

已知直线x+y-1=0与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A，B两点，线段AB中点M在直线l：y=

1

2

x上．
（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x₁+x₂，
y₁+y₂；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l的对称点为（x₀，y₀），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x₀、y₀；代入圆的方程 x₀²+y₀²=1，得出b的值，从而得椭圆的方程．

解答：解：（1）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1.

得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0．…（1分）
△=-（2a²）²-（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，即a²+b²＞1．…（2分）
x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，y₁+y₂=-（ x₁+x₂）+2=

2b2

a2+b2

，
∴点M的坐标为（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

）．…（4分）
又点M在直线l上，
∴

a2

a2+b2

-

2b2

a2+b2

=0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²，
∴e=

c

a

=

2

2

．…（6分）
（2）由（1）知b=c，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线l：y=

1

2

x的对称点为（x₀，y₀），
由

y0-0 x0-b • 1 2 =-1 y0 2 = 1 2 • x0+b 2

，解得

x0= 3 5 b y0= 4 5 b

…（10分）
∵x₀²+y₀²=1，
∴(

3

5

b)2+(

4

5

b)2=1，
∴b²=1，显然有a²+b²=3＞1．…（12分）
∴所求的椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．…（14分）

点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力；解题时应细心解答．