【题目】定义:在平面内,点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离,在平面直角坐标系中,已知圆:及点,动点到圆的距离与到点的距离相等,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过原点的直线(不与坐标轴重合)与曲线交于不同的两点,点在曲线上,且,直线与轴交于点,设直线的斜率分别为,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)由点到曲线的距离的定义可知,到圆的距离,所以,所以有,由椭圆定义可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆,从而可求出椭圆的方程;(Ⅱ)设,则,则直线的斜率为,由可得直线的斜率是,记,设直线的方程为,与椭圆方程联立,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理用表示与即可得到结论.
试题解析: (Ⅰ)由分析知:点在圆内且不为圆心,故,
所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆,
设椭圆方程为,则,
所以,故曲线的方程为
(Ⅱ)设,则,则直线的斜率为,又,所以直线的斜率是,记,设直线的方程为,由题意知,由得:.∴,
∴,由题意知,,
所以,
所以直线的方程为,令,得,即.
可得.
所以,即
(其他方法相应给分)
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【题目】已知 为坐标原点, , 是椭圆 上的点,且 ,设动点 满足 .
(Ⅰ)求动点 的轨迹 的方程;
(Ⅱ)若直线 与曲线 交于 两点,求三角形 面积的最大值.
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【题目】已知椭圆: 的左焦点和上顶点在直线上, 为椭圆上位于轴上方的一点且轴, 为椭圆上不同于的两点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与轴交于点,求实数的取值范围.
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【题目】在四棱锥中,底面为平行四边形, , , , 点在底面内的射影在线段上,且, , 为的中点, 在线段上,且.
(Ⅰ)当时,证明:平面平面;
(Ⅱ)当平面与平面所成的二面角的正弦值为时,求四棱锥的体积.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的倾斜角;
(2)设点,直线和曲线交于两点,求的值.
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【题目】某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
已知
(1)求的值
(2)已知变量具有线性相关性,求产品销量关于试销单价的线性回归方程 可供选择的数据
(3)用表示(2)中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值。当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”。试求这6组销售数据中的 “好数据”。
参考数据:线性回归方程中的最小二乘估计分别是
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【题目】已知函数,三个函数的定义域均为集合.
(1)若恒成立,满足条件的实数组成的集合为,试判断集合与的关系,并说明理由;
(2)记,是否存在,使得对任意的实数,函数有且仅有两个零点?若存在,求出满足条件的最小正整数;若不存在,说明理由.(以下数据供参考: )
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