Question

已知函数f（x）=2x-m（m∈R），g(x)=ax2+

1

2

ax+1（a∈R），h（x）=2^|x-a|
（Ⅰ）设A：存在实数x使得f（x）≤0（m∈R）成立；B：当a=-2时，不等式g（x）＞0有解．若“A”是“B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设C：函数y=h（x）在区间（4，+∞）上单调递增；D：?x∈R，不等式g（x）＞0恒成立．请问，是否存在实数a使“非C”为真命题且“C∨D”也为真命题？若存在，请求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据不等式的性质解利用“A”是“B”的必要不充分条件，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）根据“非C”为真命题且“C∨D”为真命题的等价条件，建立条件根据即可求解．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）≤0得x≤

m

2

，
即A：x≤

m

2

…（2分）
当a=-2时，由g（x）＞0得-1＜x＜

1

2

即B：-1＜x＜

1

2

…（4分）
∵“A”是“B”的必要不充分条件，
∴{x|x≤

m

2

}?{x|-1＜x＜

1

2

}，
∴

m

2

≥

1

2

即实数m的取值范围为m≥1…（6分）
（Ⅱ）存在．…（7分）
由x∈R，使g（x）＞0恒成立得
当a=0时，g（x）=1＞0，满足题意  …（8分）
当a≠0时，

a＞0 △=( 1 2 a)2-4a＜0

，
解得0＜a＜16…（9分）
∴D：0≤a＜16…（10分）
∵“非C”为真命题，∴C为假命题…（11分）
即“函数h（x）=2^|x-a|在区间（4，+∞）上单调递增”为假命题．
又h（x）=2^|x-a|在（a，+∞）上单调递增，
∴a＞4 …（12分）
又“C∨D”为真命题，∴D为真命题…（13分）
∴0≤a＜16且a＞4，
∴4＜a＜16
故存在实数a使“非C”为真命题且“C∨D”也为真命题，
所求实数a的取值范围为4＜a＜16…（14分）

点评：本题主要考查复合命题与简单命题的关系的应用，先求出命题的等价条件是解决本题的关键．