Question

定义在R上的函数f（x）满足f（6）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示．若两个正数a，b满足f（3a+2b）＞1，则

b-1

a+1

的取值范围是（　　）

• A．(-

  1

  3

  ，2)
• B．(-

  1

  3

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  1

  3

  )∪[0，+∞）
• D．[2，+∞）

Answer 1

分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案．

解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，
∵两正数a，b满足f（3a+2b）＞1，且f（6）=1，
∴

3a+2b＞6 a＞0 b＞0

，画出可行域如图．
k=

b-1

a+1

表示点Q（-1，1）与点P（x，y）连线的斜率，
当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：

1-0

-1-2

=-

1

3

；
当P点在B（0，3）时，k最大，最大值为：

1-3

-1-0

=2．
k的取值范围是（-

1

3

，2）．
故选A．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．