Question

已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，侧面积为2，则该三棱锥外接球的表面积的最小值为

4π

．

Answer 1

分析：三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，根据球的表面积，求出球的直径，就是长方体的对角线长，设出三度，利用基本不等式求出三棱锥外接球的直径的最值，从而得出该三棱锥外接球的表面积的最小值．

解答：解：三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，
因为三棱锥S-ABC的侧面积为2，
设长方体的三同一点出发的三条棱长为：a，b，c，
所以

1

2

（SA•SB+SA•SC+SB•SC）=

1

2

（ab+bc+ac）=2，
⇒ab+bc+ac=4，
该三棱锥外接球的直径2R就其长方体的对角线长，
从而有：（2R）²=a²+b²+c²≥ab+bc+ac=4，当且仅当a=b=c时取等号．
∴2R≥2⇒R≥1，
则该三棱锥外接球的表面积的最小值为4πR²=4π×1²═4π
故答案为：4π．

点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，基本不等式的应用，考查空间想象能力，计算能力，三棱锥扩展为长方体是本题的关键．