Question

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f(

y

x

)=f(y)-f(x)；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），若f（x₁）＜f（x₂），试比较x₁与x₂的大小；
（3）解关于x的不等式f（x²-2x+1）＞0．

Answer 1

分析：（1）取y=

y

x

•x，代入已知等式即可证得结果；
（2）由f（x₁）＜f（x₂），结合（1）中等式f(

y

x

)=f(y)-f(x)，得到f(

x1

x2

)＜0，再根据当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立得到

x1

x2

＞1，从而得到x₁＞x₂；
（3）在已知等式中取特值x=y=1求出f（1）=0，由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，在不等式f（x²-2x+1）＞0中，用f（1）替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求．

解答：（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f(

y

x

)+f(x)=f(y)，
∴f(

y

x

)=f(y)-f(x)；
（2）解：∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
又f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，所以f(

x1

x2

)＜0
∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，
∴

x1

x2

＞1，x₁＞x₂
（3）解：令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
∴f（x²-2x+1）＞0?f（x²-2x+1）＞f（1），
由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴0＜x²-2x+1＜1，
解得0＜x＜2且x≠1，
∴不等式解集为（0，1）∪（1，2）

点评：本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．