Question

11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c-b，△ABC面积的最大值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．

解答 解：在△ABM中，由余弦定理得：
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{M}^{2}-A{M}^{2}}{2AB•BM}$=$\frac{{c}^{2}+4-（c-b）^{2}}{4c}$．
在△ABC中，由余弦定理得：
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{{c}^{2}+16-{b}^{2}}{8c}$．
∴$\frac{{c}^{2}+4-（c-b）^{2}}{4c}$=$\frac{{c}^{2}+16-{b}^{2}}{8c}$．
即b²+c²=4bc-8．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{2bc-12}{bc}）^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-（\frac{2bc-12}{bc}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$．
∴当bc=8时，S取得最大值2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．