Question

某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
（2）右图是某同学设计的解决问题（1）的程序框图，则框图中p，q，r处应填上什么条件？
（3）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到1立方米，1.2⁸≈4.3）

Answer 1

分析：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为a_n，依题意知数列{a_n}是首项a₁=100，公差d=50的等差数列，利用等差数列的求和公式得出关于n的方程，即可求出答案；
（2）由已知得本程序的作用是求等差数列和，由于第一次执行循环时的循环变量初值为0，计数变量为1，步长为1，最后一次执行循环时循环条件为s＞=2200，我们根据利用循环结构进行累加的方法，不难给出结论．
（3）由题意得2002年初木材量为2a₁m³，到2009年底木材量增加为2a₁（1.2）⁸m³，2003年初木材量为2a₂m³，到2009年底木材量增加为2a₂（1.2）⁷m³，…2009年初木材量为2a₈m³，到2009年底木材量增加为2a₈×1.2m³．结合错位相减法求出到2009年底木材总量即可．

解答：解：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为a_n，
依题意知数列{a_n}是首项a₁=100，公差d=50的等差数列，
则100n+

n(n-1)

2

=2200即n²+3n-88=0⇒（n+11）（n-8）=0，
∵n∈N^*∴n=8
∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）p处填n=n+1，q处填i=i+1，（或p处填i=i+1，q处填n=n+1），
r处填s＞=2200．
（3）2002年初木材量为2a₁m³，到2009年底木材量增加为2a₁（1.2）⁸m³，
2003年初木材量为2a₂m³，到2009年底木材量增加为2a₂（1.2）⁷m³，
…
2009年初木材量为2a₈m³，到2009年底木材量增加为2a₈×1.2m³．
则到2009年底木材总量S=2a₁×1.2⁸+2a₂×1.2⁷+2a₃×1.2⁶+…+2a₈×1.2S=900×1.2+800×1.2²+…+400×1.2⁶+300×1.2⁷+200×1.2⁸----------①
1.2S=900×1.2²+800×1.2³+…+400×1.2⁷+300×1.2⁸+200×1.2⁹---------②
②-①得0.2S=200×1.2⁹+100×（1.2²+1.2³+…+1.2⁸）-900×1.2，
=700×1.2⁹-500×1.2²-900×1.2，
=840×1.2⁸-1800≈840×4.3-1800=1812，
∴S=9060m³．
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060m³．

点评：本小题主要考查数列的应用、循环结构等基础知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．