【题目】已知函数.
(I)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为;
(Ⅲ)比较与的大小,并加以证明.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ) ,证明见解析.
【解析】试题分析:(I)由切线斜率为及,由点斜式求切线即可;
(Ⅱ)由题意只需证明方程 在区间有唯一解,设函数 由单调性证明即可;
(Ⅲ) 首先证明当时, ,由即可证得.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域是,
导函数为.
所以, 又,
所以曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ)由已知.
所以只需证明方程 在区间有唯一解.
即方程 在区间有唯一解.
设函数 ,
则 .
当 时, ,故在区间单调递增.
又 , ,
所以 存在唯一的,使得.
综上,存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为.
(Ⅲ).证明如下:
首先证明:当时, .
设 ,
则 .
当 时, , ,
所以 ,故在单调递增,
所以 时,有,
即当 时,有.
所以 .
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【题目】已知函数f(x)的导函数f′(x),且对任意x>0,都有f′(x)>.
(1)判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性;
(2)设x1,x2∈(0,+∞),证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(3)请将(2)中结论推广到一般形式,并证明你所推广的结论.
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【题目】(2017·郑州第二次质量预测)如图,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1.现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB,AC.
(1)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?
(2)当点P为AB边的中点时,求点B到平面MPC的距离.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. E,M分别为线段AB,PD的中点.
(I)求证:PE⊥平面ABCD;
(II)求证:PB//平面ACM;
(III)在棱CD上是否存在点G,使平面GAM⊥平面ABCD,请说明理由.
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【题目】如图,三棱柱中, 平面, .过的平面交于点,交于点.
(l)求证: 平面;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为,三棱柱的体积为.若,求的值.
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【题目】已知点,圆,点是圆上一动点, 的垂直平分线与交于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,过点且斜率不为0的直线与交于两点,点关于轴的对称点为,证明直线过定点,并求面积的最大值.
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【题目】选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=e2x-aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;
(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.
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