Question

如图，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，BC＝2，BB₁＝4，AB＝，∠BCC₁＝60°.

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求A₁B与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）若E为CC₁中点，求二面角A—EB₁—A₁的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理可得BC₁＝
利用BC²＋BC₁²＝CC₁²得C₁B⊥CB，
又平面A₁B₁C₁∥平面ABC 得到 C₁B⊥平面A₁B₁C₁.
（Ⅱ）;
（Ⅲ）二面角的正切值为.

试题分析：（Ⅰ）证明：∵BC＝2，CC₁＝4，∠BCC₁＝60°由余弦定理可得BC₁＝
∴BC²＋BC₁²＝CC₁²  ∴∠CBC₁＝90° ∴C₁B⊥CB             2分
又AB⊥面BB₁C₁C ∴C₁B⊥AB，AB∩CB＝B ∴C₁B⊥平面ABC，
又平面A₁B₁C₁∥平面ABC  ∴ C₁B⊥平面A₁B₁C₁             4分
（Ⅱ）∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC      
∴A₁B与平面ABC所成的角等于A₁B与平面A₁B₁C₁所成的角            5分
由（Ⅰ）知C₁B⊥平面ABC  ∴C₁B⊥平面A₁B₁C₁    
∴∠BA₁C₁即为A₁B与平面A₁B₁C₁所成的角               6分
∠BC₁ A₁＝90° A₁C₁ ∴         8分
（Ⅲ）CE＝BC＝2，∠BCE＝60° ∴BE＝2 ∠EC₁B₁＝120°  C₁E＝C₁B₁＝2 ∴EB₁
∴BE²＋B₁E²＝B₁B²  ∴∠BEB₁＝90°即B₁E⊥BE  又AB⊥平面BCC₁B₁
∴B₁E⊥AE   ∴∠AEB为二面角A—EB₁—B的平面角          9分
              10分
又∵A₁B₁⊥平面B₁EB    ∴平面A₁B₁E⊥平面B₁EB
∴二面角A—EB₁—A₁的大小为＝90°－∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值为               13分
解法二：易知，面，，面，
∴异面直线与所成角即为所求二面角的大小.        10分
∵∴即为异面直线与所成角，        11分
易得，即所求二面角的正切值为           13分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。