Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=m，其前n项和为Sn ， 且满足Sn+Sn+1=3n2+2n，若对n∈N+ ， an＜an+1恒成立，则m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣2, ）
【解析】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，

∴n=1时，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．

n≥2时，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），

∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，

∴an+1﹣an﹣1=6，

∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，

a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，

a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．

∵对n∈N*，an＜an+1恒成立，

∴n=2k﹣1时，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜ ．

n=2k时，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．

综上可得m的取值范围是：﹣2＜m＜ ．

故答案为：（﹣2， ）．

本题必需要得出数列an的通项公式再结合不等式对n∈N+，an＜an+1恒成立求出m的取值范围，而数列an的通项公式的求解很显然用到与之间的关系式以及数列的性质，从而得出an+1﹣an﹣1=6.