Question

设函数f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于x=1对称，求y=g（x）的解析式；
（3）把y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到y=g（x）的图象，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1，利用倍角公式，和差角公式，可得函数的解析式化为正弦型函数，进而求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）中所得函数f（x）的解析式，由y=g（x）与y=f（x）的图象关于x=1对称，根据函数图象对称变换法则可得y=g（x）的解析式；
（3）由（1）中所得函数f（x）的解析式，及（2）中所得函数g（x）的解析式，设出平移量，并根据平移变换法则，构造关于m的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）f（x）=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x
=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)              
故f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），
它关于x=1的对称点为（2-x，g（x））．
由题设条件y=g（x）与y=f（x）的图象关于x=1对称，
∴点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

sin[

π

2

-

π

4

x-

π

3

]
=

3

sin（-

π

4

x+

π

6

）=

3

sin（

π

4

x+

5π

6

）
（3）把函数y=

3

sin(

π

4

x-

π

3

)的图象向右平移m（m＞0）个单位到函数y=

3

sin[

π

4

(x-m)-

π

3

]=

3

sin(

π

4

x-

π

4

m-

π

3

)=

3

sin(

π

4

x+

5π

6

)，
所以-

π

4

m-

π

3

=

5π

6

+2kπ，k∈Z，即m=-4(2k+

7

6

)，k∈Z，
当k=-1时，m的最小值是

10

3

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数的图象，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，是三角函数的综合应用，难度中等．