Question

18．设点P在曲线y=2e^x上，点Q在曲线y=lnx-ln2上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． 1-ln2
• B． $\sqrt{2}$（1-ln2）
• C． 2（1+ln2）
• D． $\sqrt{2}$（1+ln2）

Answer 1

分析 考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，由点到直线的距离公式即可得到最小值．

解答 解：∵解：∵y=2e^x与y=lnx-ln2互为反函数，
先求出曲线y=2e^x上的点到直线y=x的最小距离．
设与直线y=x平行且与曲线y=2e^x相切的切点P（x₀，y₀）．
y′=2e^x，
∴2${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=ln$\frac{1}{2}$=-ln2
∴y₀=$2{e}^{ln\frac{1}{2}}$=1．
得到切点P（-ln2，1），到直线y=x的距离d=$\frac{|-ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（1+ln2）}{2}$，
丨PQ丨的最小值为2d=$\sqrt{2}$（1+ln2），
故选：D．

点评 本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法．