Question

如图，正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，且PA=2DE=2，F是PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求点A到平面PCE的距离；
（3）求平面PCE与面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明EF∥平面ABCD，关键是要在平面ABCD中找到一条与EF平行的直线，我们不妨AC∩BD=O，连接OF，则易证ODEF为平行四边形，进而得到EF∥OD，然后根据线面平行的判定定理即可得到结论．
（2）由已知条件，我们易得到平面PCE⊥平面PAC，则过A点做PC的垂线，垂足为H，则AH即为点A到平面PCE的距离，解△PAC，易得结果．
（3）延长PE与AD交于点G，则CG即为两面角的棱，注意到PA=2DE=2，F是PC的中点，我们易得GC⊥PC，且GC⊥AC，则∠PCA为二面角P-CG-A的平面角，解三角形PAC即可得到结论．

解答：解：（1）设AC∩BD=O，连接OF，
则OF

∥

.

1

2

PA

∥

.

DE，
∴ODEF为平行四边形．
故EF∥平面ABCD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC．
∵EF∥BD，∴EF⊥平面PAC．
又EF?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAC．
作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCE．
∴AH为点A到平面PCE的距离
在Rt△PAC中，
AH=

PA•AC

PC

=

2×2 2

22+(2 2 )2

=

2

3

6

．
∴点A到平面PCE的距离为

2

3

6

．
（3）设PE∩AD=G，连接CG．∵PA=2DE，
∴AD=DG，从而CG∥BD，又BD⊥平面PAC，∴CG⊥平面PAC．
∴∠PCA为二面角P-CG-A的平面角．
在Rt△PAC中，cos∠PCA=

AC

PC

=

6

3

，
∴平面PCE与面ABCD所成锐二面角的余弦值为

6

3

．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠PCA为二面角P-CG-A的平面角，通过解∠PCA所在的三角形求得∠PCA．其解题过程为：作∠PCA→证∠PCA是二面角的平面角→计算∠PCA，简记为“作、证、算”．