Question

10．甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$．
（1）求甲至多击中目标2次的概率；
（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由甲3次均击中目标的概率为${（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，利用相互对立事件的概率计算公式即可得出甲至多击中目标目标2次的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B$（3，\frac{2}{3}）$．利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望即可得出．

解答 解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为${（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，
∴甲至多击中目标目标2次的概率为$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$．
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B$（3，\frac{2}{3}）$．
∴$P（X=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，$P（X=1）=C_3^1×\frac{2}{3}×{（1-\frac{2}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴随机变量X的数学期望$E（X）=0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}=2$，或E（X）=$3×\frac{2}{3}$=2．

点评 本题考查了相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．