Question

已知函数(为常数，且)，且数列是首项为4，公差为2的等差数列。
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，当时，求数列的前n项和。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）数列是等比数列，只需证明等于一个与无关的常数即可，由已知数列是首项为4，公差为2的等差数列，故，即，可求得，代入即可数列是等比数列；（Ⅱ）若，当时，求数列的前项和，首先求出数列的通项公式，由（Ⅰ）可知，故，这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列，可利用错位相减法来求和，可求得．
试题解析：（Ⅰ）由题意知f(a_n)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，           (2分)
即log_ka_n＝2n＋2，∴a_n＝k^2n＋2，                         (3分)
∴.                              (5分)
∵常数k＞0且k≠1，∴k²为非零常数，
∴数列{a_n}是以k⁴为首项，k²为公比的等比数列。         (6分)
（Ⅱ）由（1）知，b_n＝a_nf(a_n)＝k^2n＋2·(2n＋2)，
当k＝时，b_n＝(2n＋2)·2^n＋1＝(n＋1)·2^n＋2.           (8分)
∴S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋＋(n＋1)·2^n＋2， ①
2S_n＝2·2⁴＋3·2⁵＋＋n·2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3， ②         (10分)
②－①，得S_n＝―2·2³―2⁴―2⁵――2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3   
＝―2³―(2³＋2⁴＋2⁵＋＋2^n＋2)＋(n＋1)·2^n＋3,
∴S_n＝―2³―＋(n＋1)·2^n＋3＝n·2^n＋3.       (12分)