Question

设函数f（x）=是奇函数，其中a，b，c∈N，f（1）=2，f（2）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-∞，-1]上的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴，∴，
解得 c=0，即．
又f（1）=2，∴．
又 f（2）＜3，可得，，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x₁＜x₂≤-1，则：f（x₁）-f（x₂）===，
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
分析：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，求得 c=0，即．再由f（1）=2、f（2）＜3，a∈N，求得a，b，的值，从而得到a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．设x₁＜x₂≤-1，则由f（x₁）-f（x₂）=＜0，从而得到 f（x）
在（-∞，-1]上单调递增．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．