Question

申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次．设X表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知X的概率分布如下：

X	1	2	3	4
P	0.1	x	0.3	0.1

（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；
（Ⅱ）已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用Y=100X+30（单位：元），求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由X的概率分布列的性质，先求x的值，再计算其期望，即可求得一位申请者所经过的平均考试次数；
（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D，因为考试需交费用Y=100X+30，两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A∪B∪C∪D，由此可求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为

3

5

，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可得到的分布列．

解答：解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次．
（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B，两位申请者经历两次考试为事件C，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D．
因为考试需交费用Y=100X+30，两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.61
所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.61．
（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为

3

5

，ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=(

2

5

)4=

16

625

，P（ξ=1）=

C

1 4

(

3

5

)(

2

5

)3=

96

625

，P（ξ=2）=

C

2 4

(

3

5

)2(

2

5

)2=

216

625

，
P（ξ=3

C

3 4

(

3

5

)3(

2

5

) =

216

625

，P（ξ=4）=(

3

5

)4=

81

625

．
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	16 625	96 625	216 625	216 625	81 625

点评：本题考查概率的计算，考查变量的概率分布列，考查学生的计算能力，属于中档题．