Question

过原点的直线交函数y=x²-4x+6的图象于A、B两点，求AB中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,二次函数的性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：因为过原点的直线和y=x²-4x+6有两个交点，所以可得到该直线存在斜率，可设为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），该直线方程为：y=kx，联立y=x²-4x+6便得x²-（4+k）x+6=0，由韦达定理便得x₁+x₂=4+k，y₁+y₂=k（4+k），设P（x，y），

x= 4+k 2 y= k(4+k) 2

，所以消去k得到的方程便是AB中点P的轨迹方程．

解答： 解：由已知条件知，过原点的直线存在斜率，设为k，该直线方程：y=kx，所以：
由

y=kx y=x2-4x+6

得，x²-（4+k）x+6=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），则：
x₁+x₂=4+k，y₁+y₂=k（4+k）；

x= 4+k 2 y= k(4+k) 2

，消去k得：
y=2x²-4x；
该方程即为点P的轨迹方程．

点评：考查直线的点斜式方程，韦达定理，以及中点坐标公式，及轨迹方程的概念．