Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx（a、b是常数且a≠0）满足条件：f(2)=0且方程f(x)=x有等根。

    （1）求f(x)的解析式。

    （2）问是否存在实数m，n（m<n）使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值，如不存在，说明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵方程αx2＋(b－1)x＝0(α≠0)有等根，     ∴△=(b－1)2－4α×0＝0b＝1，     又，f(2)＝0，∴4α＋2b＝0，     ，。 (2)，     ，     而二次函数的对称轴方程为x＝1，     ∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数，设m，n存在则     即              即存在实数m＝－2，n＝0使，f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]。

提示：

本题是一道确定函数解析式、定义域、值域为一体的综合题，应从，f(2)=0和f(x)＝x有等根着手，进行各个击破。