考点:抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算
专题:向量与圆锥曲线
分析:分AB所在的直线与x轴垂直和不垂直讨论,垂直时直接求出|
|,不垂直时设出直线AB的方程,和抛物线联立后利用
•
=0把直线的截距用斜率表示,再由弦长公式把|
|用含有直线的斜率表示,利用二次函数分析最小值后得答案.
解答:
解:不妨设A在第一象限,
当AB的连线垂直于x轴时,由
•
=0可得OA所在直线的斜率为1,则直线OA的方程为y=x,
联立
,得A(4,4),
∴B(4,-4),此时|
|=8;
当AB的连线斜率存在且不等于0时,设AB方程为y=kx+b,A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
联立
,得k
2x
2+(2kb-4)x+b
2=0.
x1+x2=,x1x2=.
y
1y
2=(kx
1+b)(kx
2+b)=
k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=
k2•+kb•+b2=
2b2+.
由
•
=0,得
x1x2+y1y2=+2b2+=
=0.
∴b=-4k.
∴|
|=
•=
•=
•=
4=
4.
∵
>0,
∴
4>4=8.
∴|
|的最小值为8.
故选:B.
点评:本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力.考查了学生的计算能力,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题.