Question

如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角．

Answer 1

解：设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，
t小时后与汽车相遇
在△MON中，MO=500，ON=100t，MN=vt．
设∠MON=α，
由题意，知sinα=，
则cosα=．
由余弦定理，知MN²=OM²+ON²-2OM•ONcosα，
即v²t²=500²+100²t²-2×500×100t×．
整理，得v²=（500×-80）²+3 600．
当=，
即t=时，v_min²=3 600．
∴v_min=60，
即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，
此时MN=60×=15×25，MQ=300．
设∠MNO=β，
则sinβ==．
∴cosα=sinβ．
∴α+β=90°，即MN与OM垂直．
快艇行驶的方向与OM所成的角90°．
分析：设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇，设∠MON=α，利用余弦定理推出v²=（500×-80）²+3 600．求出快艇至少须以60千米/时的速度行驶，设∠MNO=β，推出MN与OM垂直．快艇行驶的方向与OM所成的角．
点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的解法，列出v²=（500×-80）²+3600是解题的关键，考查计算能力．