Question

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“?”．定义如下：对于任意两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，b₁，a₂，b₂∈R，i为虚数单位），“z₁?z₂”当且仅当“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”．
下面命题：
①1?i?0；
②若z₁?z₂，z₂?z₃，则z₁?z₃；
③若z₁?z₂，则对于任意z∈C，z₁+z?z₂+z；
④对于复数z?0，若z₁?z₂，则z•z₁?z•z₂．
其中真命题是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：利用复数的新定义大小关系即可得出．

解答：解：①．∵1=1+0•i，i=0+1•i，∵实部1＞0，∴1?i．
又0=0+0•i，∵实部0=0，虚部1＞0，∴i?0，∴1?i?0，所以①正确．
②设z_k=a_k+b_ki，k=1，2，3，a_k，b_k∈R．∵z₁?z₂，z₂?z₃，∴a₁≥a₂，a₂≥a₃，∴a₁≥a₃．
则当a₁＞a₃时，可得z₁?z₃；当a₁=a₃时，有b₁＞b₂＞b₃，可得z₁?z₃，∴②正确；
③令z=a+bi（a，b∈R），∵z₁?z₂，∴a₁≥a₂，∴a₁+a≥a₂+a，
当a₁=a₂时，b₁＞b₂，故a₁+a=a₂+a，b₁+b＞b₂+b，可得z₁+z?z₂+z；
当a₁＞a₂时，a₁+a＞a₂+a，可得z₁+z?z₂+z；∴③正确；
④取z=0+i＞0，z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，（a_k，b_k∈R，k=1，2），
不妨令a₁=a₂，b₁＞b₂，则z₁?z₂，此时z•z₁=-b₁+a₁i，z•z₂=-b₂+a₂i，不满足z•z₁?z•z₂．故④不正确．
由以上可知：只有①②③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了对复数的新定义大小关系的理解和应用，属于难题．