Question

函数y=asinx+2bcosx图象的一条对称轴方程是x=

π

4

，则直线ax+by+1=0和直线x+y+2=0的夹角的正切值为（　　）

• A．3
• B．-3
• C．

  1

  3

• D．-

  1

  3

Answer 1

分析：函数f（x）=asinx+2bcosx图象的一条对称轴方程是x=

π

4

，推出f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 对任意x∈R恒成立，化简函数的表达式，求出a，b的关系，然后求出直线的斜率，再由两条直线的夹角公式求出直线ax+by+1=0与直线x+y+2=0的夹角．

解答：解：∵f （x）=asinx+2bcosx的一条对称轴方程是x=

π

4

，
∴f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 对任意x∈R恒成立，
asin（

π

4

+x）+2bcos（

π

4

+x）=asin（

π

4

-x）+2bcos（

π

4

-x），
asin（

π

4

+x）-asin（

π

4

-x）=-2bcos（

π

4

+x）+2bcos（

π

4

-x），
化简得：asinx=2bsinx 对任意x∈R恒成立，
∴（a-2b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，∴a-2b=0，
∴直线ax+by+1=0的斜率k=-

a

b

=-2．
又直线x+y+2=0的斜率为-1，设直线ax+by+1=0与直线x+y+2=0的夹角大小是θ，
则有 tanθ=|

k2-k1

1+k1k2

|=|

-2+1

1+(-2)(-1)

|=

1

3

，
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，对称轴的应用，两条直线的夹角公式，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题．