Question

已知a∈R，函数f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b，g（x）=2alnx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，0）处的切线互相垂直，求a，b的值．
（2）设F（x）=f′（x）-g（x），若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），并求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把点（1，0）代入函数解析式，再由函数在x=1时的导数乘积等于-1列式，联立后求得a，b的值；
（2）求出函数f（x）的导函数，代入F（x）=f′（x）-g（x），把若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁）转化为F′（x）的最小值大于a恒成立．令h(x)=F′(x)=x+(a-2)-

2a

x

，分类求导求得其最小值点，得到x=

-2a

为h（x）的极小值点，也是最小值点．由

-2a

-

2a

-2a

+a-2＞a求得a的范围．

解答： 解：（1）由点（1，0）在f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b上，得

1

6

+

1

2

(a-2)+b=0  ①，
由f′(1)=

1

2

+(a-2)，g′（1）=2a，得[

1

2

+(a-2)]•2a=-1  ②，
联立①②，解得a=

1

2

或a=1．
当a=

1

2

时，b=

7

12

；当a=1时，b=

1

3

；
（2）f′(x)=

1

2

x2+(a-2)x，
F（x）=f′（x）-g（x）=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx，
若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），
不妨设x₂＞x₁，则有

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a恒成立，即F′（x）的最小值大于a恒成立．
令h(x)=F′(x)=x+(a-2)-

2a

x

，
则h′(x)=1+

2a

x2

，
若a≥0，则h′（x）＞0恒成立，h（x）单调递增，h（x）_min→h（0）→-∞，此时命题不能恒成立；
若a＜0，则h′(x)=

(x+ -2a )(x- -2a )

x2

，
∵x＞0，∴x=

-2a

为h（x）的极小值点，也是最小值点．
故有

-2a

-

2a

-2a

+a-2＞a，即

-2a

＞1，解得a＜-

1

2

．
∴当a∈（-∞，-

1

2

）时，命题成立．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．