Question

已知函数f（x）=

ex

a

-

a

ex

，（a∈R且a＞0）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若函数f（x）的定义域为（-2，2）时，求使f（1-m）-f（m²-1）＜0成立的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），根据f′（x）的符号即可判断函数f（x）的单调性；
（2）由f（1-m）-f（m²-1）＜0得，f（1-m）＜f（m²-1），根据f（x）在（-2，2）上的单调性及定义域（-2，2）即可得到关于m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

ex

a

+

a

ex

；
∵a＞0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在R上是增函数；
（2）由原不等式得：f（1-m）＜f（m²-1）；
∵f（x）在（-2，2）上是增函数，所以：

-2＜1-m＜2 -2＜m2-1＜2 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

3

；
∴实数m的取值范围是(1，

3

)．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性解不等式．