Question

13．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，$-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}$）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sinx的图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
（2）由正弦函数的单调性即可求出．
（3）当x∈[0，3π]，令t=$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，由题意可得g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点，结合图象可得m的范围．

解答 解：（1）由题意可得，把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的图象，
故f（x）=sin（ωx+φ）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$x）x+），求得ω=$\frac{1}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，即f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）知f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
所以$-\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{4π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+4kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调增区间为[-$\frac{4π}{3}$+4kπ，$\frac{2π}{3}$+4kπ]，k∈Z．
（3）当x∈[0，3π]时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]．
令t=$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
方程f（x）=m有唯一实数根，即函数f（x）=g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点．
结合图象可得，当-0.5＜m＜0.5时，g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点，
故m的范围为：-0.5＜m＜0.5，或m=1，或 m=-1

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．