【题目】已知函数对任意的实数都有:,且当时,有.
(1)求.
(2)求证:在上为增函数.
(3)若,且关于的不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)见解析 (3)
【解析】
(1)令m=n=0计算即可;(2)根据函数单调性定义进行证明,将f(x2)变形成f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1),从而得到函数的单调性;(3)由已知条件可将不等式变为f(ax﹣2+x﹣x2)<2,根据f(1)=2及f(x)在R上为增函数可转为x2﹣(a+1)x+3>0在[1,+∞)恒成立,通过讨论对称轴和1的大小可得答案.
(1)令,则,
∴.
(2)证明:设,且,
则.
∵,
∴,
∴.
故在上为增函数.
(3)∵,
即,
∴,
∵,
∴.
又在上为增函数,
∴.
∴对任意的恒成立.
令,
①当,即时,函数在上单调递增,
由,得,
∴;
②当,即时,由,得,
∴.
综上可得实数的取值范围为.
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【题目】如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是等腰三角形,∠CAD=120°,AD=DE=2AB.
(I)求证:平面BCE⊥平面CDE;
(II)求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值.
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【题目】如图所示,正方体的棱长为, 分别是棱,的中点,过直线的平面分别与棱.交于,设,,给出以下四个命题:
①平面 平面;②当且仅当时,四边形的面积最小; ③四边形周长,是单调函数;④四棱锥的体积为常函数;
以上命题中真命题的序号为___________.
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【题目】已知函数(k为常数,e为自然对数的底数),曲线在点(1, f (1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求的单调区间;
(3)设其中为的导函数,证明:对任意
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【题目】学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当 时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点,过点;当 时,图象是线段BC,其中.根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳,则教师安排核心内容的时间段为____________.(写成区间形式)
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