Question

已知A（3，0）及双曲线E：

x2

9

-

y2

16

=1，若双曲线E的右支上的点Q到点B（m，0）（m≥3）距离的最小值为|AB|．
（1）求m的取值范围，并指出当m变化时B的轨迹C
（2）如（图1），轨迹C上是否存在一点D，它在直线y=

4

3

x上的射影为P，使得

AP

•

OD

=

OP

•

PD

？若存在试指出双曲线E的右焦点F分向量

AD

所成的比；若不存在，请说明理由．
（3）（理）当m为定值时，过轨迹C上的点B（m，0）作一条直线l与双曲线E的右支交于不同的两点（图2），且与直线y=

4

3

x，y=-

4

3

x分别交于M、N两点，求△MON周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设Q（a，b）利用距离公式|QB|²=（a-m）²+b²=

25

9

a2-2am+m²-16，建立关于a的二次函数，利用二次函数的性质得出：当且仅当3≤m≤

25

3

时，M到B的距离为|AB|．所以点B的轨迹是一条线段；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在D，令P（3t，4t），再利用向量的坐标表示求出向量的数量积，求出D的坐标，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（3）设M（3s，4s）、N（3t，-4t），根据M、B、N共线得出s，t的关系式，再根据基本不等式求出其最小值，从而得到△OMN的周长L=|OM|+|ON|+|MN|的周长最小值即可．

解答：解：（1）Q（a，b），

a 2

9

-

b2

16

=1⇒b²=

16a2

9

-16；
|QB|²=（a-m）²+b²=

25

9

a2-2am+m²-16，a=

9m

25

，|QB|_min=

16m2 25 -16

．
∴

16m2 25 -16

=|AB|=m-3⇒

16

25

m2-16=m²-6m+9=0⇒（3m-25）²=0⇒m=

25

3

．
∴由上述可得：当且仅当3≤m≤

25

3

时，M到B的距离为|AB|．所以点B的轨迹是一条线段AN，其中N（

25

3

，0），即轨迹G为线段AN．（理4分）（文6分）
（2）设存在D，令P（3t，4t），则D（

25

3

t，0），于是

AP

=（3t-3，4t），

OD

=（

25

3

t，0），
∴

OD

•

AP

=0，∴25t²-25t=0，∴t=0或t=1，
当t=0时，D（0，0）不满足题意，舍去；
当t=1时，D（

25

3

，0）在轨迹G上，所以存在D满足题意，
此时D（

25

3

，0），F（5，0），有

AF

=（2，0），

FD

=（

10

3

，0），

AF

=

3

5

FD

，
从而F分

AD

所成的比为λ=

3

5

，
（3）（理）设M（3s，4s）、N（3t，-4t），因为直线l与双曲线E的右支有两个交点，
所以s＞0，t＞0，由M、B、N共线知

3s-m

4s

=

3t-m

-4t

即

1

s

+

1

t

=

6

m

（理9分）
而

6

m

(s+t)=(

1

s

+

1

t

) (s+t)=2+

t

s

+

s

t

≥4，
所以，当且仅当s+t≥

2m

3

时s=t=

m

12

取等号，
△OMN的周长L=|OM|+|ON|+|MN|=5s+5t+

(3s-3t) 2+(4s+4t) 2

=5（s+t）+

9(s-t) 2+16(s+t) 2

≥9（s+t）≥6m
所以，当 s=t=

m

12

时，△OMN的周长最小为6m．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．