Question

20．若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．
（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f₁（x）=2x-1，f₂（x）=2^x-1．
（2）若函数g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．
（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x₀∈D且f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．
（3）函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质f（x₀）∈D，则有唯一的x₀∈D，由此能证明f（x₀）=x₀．

解答 解：（1）在f₁（x）=2x-1中，对于定义域D内的任意一个自变量x₀，
都有函数值f₁（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函数f₁（x）=2x-1在D₁上不封闭；
在f₂（x）=2^x-1中，2^x-1∈（0，1），在D₁上封闭．
（2）g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$的定义域为（1，2），对称中心为（-2，5），
当a+10＞0时，函数g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$在D₂上为增函数，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥1}\\{f（2）≤2}\\{a＞-10}\end{array}\right.$，解得a=2
当a+10＜0时，函数g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$在D₂上为减函数，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤2}\\{f（2）≥1}\\{a＜-10}\end{array}\right.$，解得a∈∅
综上，所求a的值等于2．
证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．
x₀∈D且f（f（x₀））=x₀，
∴根据单调函数性质f（x₀）∈D，则有唯一的x₀∈D，
∴f（x₀）=x₀．

点评 本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．