Question

11．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．
（1）求E的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式求得a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，将直线方程代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；
（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x-1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
由b²=a²-c²=c²，将P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，
解得：c=1，a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值．
若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂+1-（x₁+x₂）]
=k²（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+1-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂，
=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+m²-m•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-2+（2{m}^{2}-4m+1）{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
欲使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值，则2m²-4m+1=2（m²-2），
解得：m=$\frac{5}{4}$，
此时$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{25}{16}$-2=-$\frac{7}{16}$；
当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由M（$\frac{5}{4}$，0），可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$，符合题意．
故在x轴上存在定点M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．