Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴负半轴上有一点，且

(Ⅰ)若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；否则，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程与性质和直线与椭圆的位置关系的运用。

(1)由题意结合点到直线的距离公式和椭圆的性质得到椭圆方程的求解。

(2)设直线方程与椭圆联立，得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理和向量的关系式得到参数m与k的关系式。进而求解参数的范围。

解：（1）由题意，得，所以 

又   由于，所以为的中点，

所以

所以的外接圆圆心为，半径…………………3分

又过三点的圆与直线相切，

所以解得，

所求椭圆方程为 …………………………………………………… 6分

（2）有（1）知,设的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立,整理得

设交点为，因为

则……………………………………8分

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以

又 

又的方向向量是，故，则

，即

由已知条件知………………………11分

，故存在满足题意的点且的取值范围是………………13分