Question

3．已知函数f（x）=x³-6x²+3x+t，h（x）=e^x，t∈R．F（x）=f（x）•h（x）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间．
（Ⅱ）若函数F（x） 依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．求t的取值范围；
（Ⅲ）若a+c=2b²，①求t的值．  ②若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式 F（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （I）求导f′（x）=3x²-12x+3，从而解f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）化简F（x）=e^x（x³-6x²+3x+t），求导F′（x）=e^x（x³-3x²-9x+t+3），从而可转化为x³-3x²-9x+t+3=0解3个根a，b，c；再令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，从而求得确定函数的单调性，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=-1-3+9+t+3＞0}\\{g（3）=27-27-27+t+3＜0}\end{array}\right.$，从而解得；
（Ⅲ）①由a，b，c是函数F（x）的三个极值点可知x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c），从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{ab+bc+ac=-9}\\{-abc=t+3}\\{a+c=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，从而解得；
②不等式F（x）≤x可化为e^x（x³-6x²+3x+t）≤x，从而可得t≤xe^-x-x³+6x²-3x，从而转化为0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立，令n（x）=e^-x-x²+6x-3，求导n′（x）=-e^-x-2x+6，n″（x）=e^-x-2，从而解得．

解答 解：（I）∵f（x）=x³-6x²+3x+t，
∴f′（x）=3x²-12x+3，
令f′（x）＜0解得，2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$，
故函数f（x）的单调减区间为（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）；
（Ⅱ）F（x）=e^x（x³-6x²+3x+t），
F′（x）=e^x（x³-6x²+3x+t）+e^x（3x²-12x+3）
=e^x（x³-3x²-9x+t+3），
∵函数F（x） 依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值，
∴x³-3x²-9x+t+3=0解3个根a，b，c；
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
故g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减；
故$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=-1-3+9+t+3＞0}\\{g（3）=27-27-27+t+3＜0}\end{array}\right.$，
解得，-8＜t＜24；
（Ⅲ）①∵a，b，c是函数F（x）的三个极值点，
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{ab+bc+ac=-9}\\{-abc=t+3}\\{a+c=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1-2\sqrt{3}}\\{b=1}\\{c=1+2\sqrt{3}}\\{t=8}\end{array}\right.$；
故t=8；
②不等式F（x）≤x，
即e^x（x³-6x²+3x+t）≤x，
即t≤xe^-x-x³+6x²-3x，
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe^-x-x³+6x²-3x恒成立．
即不等式0≤xe^-x-x³+6x²-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e^-x-x²+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
设n（x）=e^-x-x²+6x-3，则n′（x）=-e^-x-2x+6，n″（x）=e^-x-2，
∵x∈[1，m]，∴n″（x）=e^-x-2＜0；
∴n′（x）=-e^-x-2x+6在[1，m]上是减函数，
又n′（1）=4-$\frac{1}{e}$＞0；n′（2）=2-$\frac{1}{{e}^{2}}$＞0，n′（3）=-$\frac{1}{{e}^{3}}$＜0；
故存在x₀∈（2，3），使n′（x₀）=0，
故n（x）在（1，x₀）上单调递增，在（x₀，+∞）上单调递减；
又n（1）=$\frac{1}{e}$+2＞0，n（2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+5＞0，n（3）=$\frac{1}{{e}^{3}}$+6＞0，
n（4）=$\frac{1}{{e}^{4}}$+5＞0，n（5）=$\frac{1}{{e}^{5}}$+2＞0，n（6）=$\frac{1}{{e}^{6}}$-3＜0，
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

点评 本题考查了导数的综合应用及转化的思想应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用，综合性较强．