Question

【题目】函数f（x）= 是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）= ，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，

∴b=﹣b，

∴b=0

又∵f（2）= = ，

∴a=1，

∴函数f（x）=

（2）解：证法一：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣

=

∴f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数

证法二：∵函数f（x）= ，

∴f′（x）= ，

当x∈（﹣1，1）时，

f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数

（3）解：由题意知f（t﹣1）+f（t）＜0

∴f（t﹣1）＜﹣f（t）

∴f（t﹣1）＜f（﹣t）

∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1

∴0＜t＜

【解析】（1）由函数f（x）= 是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）= ，求出a，b的值，可得函数f（x）的解析式；（2）证法一：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，求出f（x1）﹣f（x2），并判断符号，进而根据函数单调性的定义得到f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；证法二：求导，并分析出当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0恒成立，进而得到f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0可化为：﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．