Question

（2008•宝山区一模）已知函数y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x．
（1）将函数化成y=Asin(ωx+?)(A＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)的形式，并写出最小正周期；
（2）用“五点法”作函数的图象，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及两角差的余弦，化为一个角的一个三角函数的形式，y=Asin(ωx+?)(A＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)（1）求出周期；
（2）通过列表描点，用“五点法”作函数的图象，求出函数[0，π]的单调增区间．

解答：解：y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）．
（1）该函数的最小正周期是π；  
（2）列表：

2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
2sin（2x- π 6 ）	0	2	0	-2	0

描点作图：

单调递增区间是[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函数的单调性，三角函数的最值，把三角函数式化简为y=Asin（ωx+φ）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法．