Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则

PE

•

PF

的最小值是（　　）

A．6

B． 56 9

C．7

D． 65 9

Answer 1

（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．∵|CM|=

(5sinθ)2+(5cosθ)2

=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使

PE

•

PF

最小，需|

PE

|和

|PF|

最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=

|HM|2-|ME|2

=

9-1

=2

2

，sin∠MHE=

|ME|

|MH|

=

1

3

，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=

7

9

，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2

2

×2

2

×

7

9

=

56

9

，故选 B．