Question

（2013•泉州模拟）已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]²+y²+z²=9，试求x+2y+2z的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把要解的不等式f（x-1）＞2等价转化为与之等价不等式|x-1|＞2，再利用绝对值不等式的解法即得所求．
（II）利用题中条件：“x²+y²+z²=9”构造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²这个条件进行计算即可．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x-1）＞2即|x-1|＞2．
解得 x＜-1，或 x＞3．
故原不等式的解集为 {x|x＜-1，或 x＞3}．
（II）[f（x）]²+y²+z²=9，即x²+y²+z²=9，
由于（x²+y²+z²）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²，
∴9×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²，
∴-9≤x+2y+2z≤9．
则x+2y+2z的最小值为：-9．

点评：（I）本小题主要考查绝对值不等式的解法，（II）本小题考查用综合法证明不等式，关键是利用（x²+y²+z²）×（1+4+4 ）≥（x+2y+2z）²．