Question

8．已知a，b是异面直线．a上有两点A，B，距离为8，b上有两点C，D，距离为6，BD，AC的中点分别为M，N，且MN=5，求证：a⊥b．

Answer 1

分析 连结AD，并取线段AD的中点P，连结MP、NP，证明∠MPN为AB与CD所成的角，即异面直线a、b所成的角，证明a、b所成角为90°即可．

解答 证明：连结AD，并取线段AD的中点P，连结MP、NP．
∵M为BD的中点，P为AD的中点，∴MP∥AB
同理 PN∥CD，
∴∠MPN为AB与CD所成的角，即异面直线a、b所成的角．
在△MPN中，MN=5，MP=AB=4，NP=CD=3
∴∠MPN=90°，即a、b所成角为90°，
∴a⊥b．

点评 本题主要考查异面直线垂直，考查空间中异面直线所成的角，此题属于中档题，解决此类问题的关键是熟练掌握解三角形的一个知识，将题设中所给的三个条件转化到一个三角形中．