(Ⅰ)如图1.是平面内的三个点.且与不重合.是平面内任意一点.若点在直线上.试证明:存在实数.使得:. (Ⅱ)如图2,设为的重心,过点且与.分别交于点.若..试探究:的值是否为定值.若为定值.求出这个定值,若不是定值.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：.

（Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个

定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】

解：（Ⅰ）由于三点共线，所以存在实数使得：

， ………2分

即 ………4分

化简为

结论得证. ………6分

（Ⅱ）连结，因为为的重心，

所以：………8分

又因为，

所以………10分

由（Ⅰ）知：所以为定值.…12分

【解析】略

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如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ）设二面角E-AC-D₁的大小为θ，若

≤θ≤

，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D₁E上存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有

D1P

＜1．

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的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）设二面角F-PB-D的平面角为θ，若θ≥45°，求线段CF长的取值范围．

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如图1，在平面内，ABCD边长为2的正方形，ADD″A₁和CDD″C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D″与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于正方形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D₁的大小为θ，当t=2时，求θ的余弦值；
（2）当t＞2时在线段D₁E上是否存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分

D1E

所成的比λ；若不存在，请说明理由．