Question

【题目】函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=ex ， 且f（1）=e，则（ ）
A.f（x）的最小值为e??
B.f（x）的最大值为e
C.f（x）的最小值为 ??
D.f（x）的最大值为

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设g（x）=xf（x）， ∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=ex ，
∴g（x）=ex ，
∴xf（x）=ex ，
∴f（x）= ，
∴f′（x）= ，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0，时，解得x＞1，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
当f′（x）＜0，时，解得0＜x＜1，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，
∴f（x）min=f（1）=e，
故选：A．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．